如何求解二体问题中哈密顿算符的本征方程？《张朝阳的物理课》介绍分离变量法

原标题：如何求解二体问题中哈密顿算符的本征方程？《张朝阳的物理课》介绍分离变量法

如何处理二体问题中纠缠在一起的变量？分离变量法与对易关系有什么内在联系？5月13日、15日中午12时，《张朝阳的物理课》第五十三期、五十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，用两期时间讨论了波函数在坐标空间的表示，并研究了二体问题中哈密顿算符本征方程的解法，通过选取合适的新变量以及细致的推导，将二体运动方程分解为质心运动部分与相对运动部分。最后讨论了分离变量法与算符对易性的联系，并阐明了算符的对易性与算符共同本征态存在性的关系。

（张朝阳讨论坐标算符本征态的性质）

二体问题分解为质心运动与相对运动两部分

除了上面提到的动量算符与坐标算符，哈密顿算符在量子力学中也非常重要，它直接出现在量子力学最重要的公式薛定谔方程中。哈密顿算符不仅能描述量子态随时间的演化，其本征值往往是实验观测的对象。

正如上面我们将波函数展开为坐标或动量算符的本征态那样，我们也可以将波函数展开为哈密顿算符的本征态的叠加。由于哈密顿算符的特殊性，当波函数随时间演化时，这些展开系数将按照e^{iEt/ћ}简单地变化,其中E是该本征态对应的本征值。也就是说，我们一旦将哈密顿算符的本征态与本征值求出来，只需将波函数用这些量子态展开，就可以知道该波函数随时间的演化。所以求解哈密顿算符的本征态与本征值是量子力学中非常重要的事。我们接下来就以一维空间的两体问题为例，展现哈密顿算符本征态与本征值的求解过程。

设在一维空间中，描述粒子1与粒子2的坐标分别为x1与x2，那么描述这两粒子系统的波函数具有ψ(x1，x2)的形式，此波函数在坐标点x1，x2的值的模平方，诠释为粒子1出现在坐标x1同时粒子2出现在坐标x2的概率密度。进一步设两个粒子的质量分别为m1与m2，且它们之间的相互作用以势能u(x1-x2)表示，描述系统的哈密顿算符为：

（张朝阳推导质心动量与相对动量跟粒子动量的关系）

类似地，我们也可以定义与质心坐标x_cm对应的质心动量算符：

（张朝阳利用分离变量法求解哈密顿算符的本征方程）

算符对易关系与共同本征态

前面为了利用分离变量法求解本征方程，我们将哈密顿算符H分解成了质心运动部分Hcm：

与相对运动部分Hr：

若我们进一步将上述得到的质心运动方程补上在分离变量过程中约去的函数ψ₂(x),可以得到：

这说明具有分离变量形式的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是质心运动部分Hcm的本征态。

同样地，将相对运动方程补上函数ψ₁(x_cm)可得：

这说明波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)同时也是相对运动部分Hr的本征态。所以分离变量法中使用的最关键的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，正是质心运动部分Hcm与相对运动部分Hr的共同本征态。我们接下来先讨论算符的对易性与共同本征态的存在性之间的关系。

首先证明：若两个算符A与B对易，且算符A的本征态ψn不简并，那么它们必有共同本征态。设算符A的本征方程如下：

那么由算符A与B的对易性可得：

其中第一个等号利用了算符A与B的对易性，第二个等号利用了算符A的本征方程。上式表明量子态Bψn是算符A 的本征态，且其本征值与ψn对应的本征值一样。由于A的本征态是不简并的，所以量子态Bψn与ψn至多相差一个比例系数，即：

这正是算符B的本征方程，且算符A的本征态ψn同时也是算符B的本征态。

接着，我们进一步证明，若算符A与B所拥有的共同本征态ψn的集合{ψn}构成希尔伯特空间的完备基，那么算符A与B对易。由于{ψn}构成完备基，任意取一个量子态ψ都可以按照{ψn}展开：

由于ψn是算符A与B的共同本征态，那么算符A与B作用在以ψn展开后量子态ψ上可得：

由于量子态ψ是任意的，所以算符A与B对易。

回过头来看我们分离变量法用到的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，我们期望所有的波函数都可以用这样的分离变量后的波函数来展开，而刚刚也证明了ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是质心运动部分Hcm与相对运动部分Hr的共同本征态，这说明算符Hcm与算符Hr的共同本征态是完备的，这就要求算符Hcm与Hr对易。

实际上，通过质心动量算符与相对动量算符的对易关系，以及质心坐标与相对坐标的独立性，即可计算验证Hcm与Hr确实是对易的，这与上述分析自洽。所以，我们若希望可以用分离变量法来求解哈密顿算符的本征方程，那就需要将哈密顿算符分解成相互对易的算符，通过求解这些对易算符相对简单的本征方程来破解原哈密顿算符的本征方程，这正是我们求解氢原子定态薛定谔方程时用到的方法。

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